Inversieren

Umgekehrte Matrix errechnen

Was eine umgekehrte Matrize ist, wird in diesem Teil erörtert. Nach den Machtgesetzen: Wenn man eine Nummer mit ihrem Reziproken vermehrt, ist das Resultat immer 1. Welche Art von Ziffern wirkt, geht auch mit Matrixen (zumindest ähnlich): Wenn man eine Matrize A mit ihrer umgekehrten Matrize \(A^{-1}\) vermehrt, wird die Einheitenmatrix gebildet.

Noch vor wenigen Dekaden wurde die umgekehrte Matrize als "Kehrmatrix" bezeichnet. Zur Berechnung der Inversion einer Matrize (d.h. der Inversionsmatrix ) benötigen wir eine der im folgenden Kapitel genannten Methoden.

Ein weiterer (unbeliebter) Weg ist die Ermittlung der umgekehrten Matrize mit der Cramerregel. Eine Umkehrung kann nur bei quadratischen Matrixen erfolgen. Es gibt jedoch nicht für jede Quadratmatrix eine Umkehrung. Wenn für eine Matrize A die umgekehrte \(A^{-1}\) vorhanden ist, dann wird die Matrize regelmäßig genannt - ansonsten wird sie Singular genannt.

Oft ist es sinnvoll, vorab zu prüfen, ob eine Matrize eine Umkehrung hat: Eine Matrize \(A\) kann invertiert werden, wenn folgendes zutrifft: Hinweis: Für Matrixen, in denen Reihen oder Säulen lineare Abhängigkeiten haben, deren Bestimmungsgröße also 0 ist, gibt es keine umgekehrte Matrize. Der Kehrwert eines Matrizenprodukts stimmt mit dem des entsprechenden Kehrwertes überein.

Der Kehrwert der umgesetzten Matrize stimmt mit dem Kehrwert der umgekehrten zu. Der Kehrwert einer Matrize kann auch invertiert werden. Der Kehrwert des Kehrwerts ist wiederum die Matrize selbst.

Umgekehrte Matrix nach Gauß-Jordanien errechnen

Im folgenden Abschnitt wird untersucht, wie man die Umkehrung einer Matrize mit Unterstützung des Algorithmus Gauss-Jordan berechnet. Es wird davon ausgegangen, dass Sie den Algorithmus von Gauß-Jordanien bereits kennen. Wie ist die Umkehrmatrix? Die Multiplikation einer Matrize mit ihrer Umkehrung ergibt die Einheitenmatrix. Bei Matrizen, deren Reihen oder Säulen lineare Abhängigkeiten aufweisen, gibt es keine Umkehrung.

Dies ist dann der Fall, wenn die Bestimmungsgröße der Matrix Null ist. Das bedeutet, dass Sie eine umgekehrte Matrize nur dann rechnen können, wenn es sich vor der Berechnung auszahlt zu prüfen, ob eine Matrize überhaupt eine Umkehrung hat. Im Mathevideo (4:09 min) lernen Sie, wie man die umgekehrte Matrize mit dem Algorithmus Gauss-Jordan errechnet.

Vorgegeben ist eine Matrize A. Berechnen Sie deren Umkehrung. Eine sogenannte Bausteinmatrix wird aus der Bausteinmatrix und der Bausteinmatrix aufgebaut. Es geht darum, die rechte Hälfte der Bausteinmatrix - die Matrize \(A\) - in die Bausteinmatrix zu transformieren. Hierfür wird der Algorithmus Gauß-Jordan verwendet. Auf der rechten Hälfte der Bausteinmatrix werden die notwendigen Arbeitsschritte zur Umwandlung der Bausteinmatrix (A\) durchgeführt.

Ist die Einheitenmatrix auf der rechten Geräteseite geschrieben, kann die Umkehrmatrix auf der rechten Geräteseite gelesen werden. Zur Berechnung der ersten Linie dividieren wir die erste durch zwei, und zur Berechnung der Null in der zweiten Linie subtrahieren wir die erste Linie von dieser Linie. Zur Berechnung der zweiten Linie dividieren wir durch 2,5, zur Berechnung der Null wird die zweite Linie zur dritten Linie addiert.

Zur Berechnung der dritten Linie dividieren wir durch 0,2, zur Berechnung der Null in der zweiten Linie fügen wir das 0,8-fache der dritten Linie hinzu. Zur Berechnung der Null wird das 0,5-fache der zweiten Linie zur ersten mitgerechnet. Diese Matrize wurde mit dem Algorithmus von Gauß-Jordan in die Einheitenmatrix transformiert.

Das umgekehrte Raster ist nun gut lesbar. Er liegt auf der rechten Straßenseite der Bausteinmatrix.